О психологических основах методики обучения математики.
Среди многих моментов, которые обычно указываются при перечислении целей обучения математике, особо подчеркивается воспитание рационально мышления учащихся.
В последнее время важность этой стороны обучения математике усилилась в очень большой степени, поскольку задачи автоматизации производственных процессов, проблемы моделирования на компьютерах экономических, биологических и огромного числа иного типа процессов требует от работников самых разнообразных областей знания и деятельности строгого и последовательного логического анализа изучаемых ими процессов.
Методика математики в основном интересуется лишь уровнем знаний учащихся в данный момент, убеждая учителя, что обучение должно сводиться к возможно более краткому и логическому изложению фактической стороны предмета, не уделяя особого внимания анализу мыслительной деятельности учащихся (т. е. как учащиеся мыслят изучая предмет). Такая методика, которая интересуется лишь логикой самой математики, не может дать обоснованных указаний учителю, как излагать предмет. Без глубоких знаний мыслительной деятельности учащихся невозможно воспитывать у них интерес к изучаемому предмету, невозможно воспитывать рациональное качество их мышления.
Прежде всего, и для дальнейшего важно разграничить области логики и психологии.
Логика говорит о законах правильного мышления, т. е. о том, как должен мыслить человек, чтобы исходя из правильных предпосылок, прийти к правильным выводам.
Психология же изучает естественный процесс мышления человека как функцию его нервной системы мозга, т. е. то, как человек фактически мыслит, сам процесс мышления. Психология изучает мышление в связи со всей психической жизнью человека, ее интересует, как формируется мысль, и так далее. Мы знаем, что продуктивность мышления зависит не только от способностей человека. Один и тот же человек часто мыслит логично или нелогично в зависимости от того, как он настроен данным момент, способен он или взволнован, интересует его работа или нет, уверен он в своих силах или колеблется и т. д. интересный учебник и доступный урок активизируют мышление учащегося, в то время как скучное или непонятное изложение тормозит его. Опыт показывает, что тот самый учащийся, который легко решит интересную для него задачу, потому что, увлеченный ею, он мобилизирует все свои умственные силы на ее решение, часто будет без пользы тратить много времени над вполне посильной для него, но скучной задачей.
Дальше мы рассмотрим, какую основополагающую роль играют закономерности психологии и анализа мышления учащихся а проблемах методики и, какие выводы из этого следуют.
Прежде всего отметим следующее основное положение: безупречная логика изложения материала не гарантирует ясности представлений, возникающих в сознании учащихся.
Рассмотрим несколько примеров:
1) Учитель объяснил, что прямоугольным треугольником называется треугольник, один из углов которого прямой. При этом он случайно сделал на доске с помощью угольника несколько чертежей, где во всех случаях прямой угол оказывается всегда внизу. Когда в другой раз учитель, повернув угольник, начертил прямоугольный треугольник с прямым углом сверху, то некоторые ученики отказались принять его прямоугольным на том основании, что прямой угол занял необычное положение.
2) Учащийся чертит на классной доске одну прямую, расположенную по диагонали доски и говорит, что он начертил «наклонную» прямую. Хотя учащийся знает определение наклонной прямой, но он упускает из вида, что это определение относится к взаимному расположению двух прямых, не зависимо от их расположения на плоскости, и относит его к расположению одной прямой относительно нижнего края доски.
Мы видим, что все определения были даны правильно, ошибки же учащихся обусловлены не их небрежностью, а неумением абстрагировать, отделить существенные признаки от несущественных, то есть естественными в обучении психологическими причинами. Только психологический анализ позволяет учителю уяснить себе причину ошибки и помочь ее простейшим образом исправить. И это исправление должно состоять не в том, чтобы несколько раз заставить ученика повторить логически безупречное определение, а в том, чтобы сам учитель дал здесь с логической точки зрения, может быть излишнее, но педагогически необходимое объяснение. В первом случае оно будет состоять в указании на то, что в определении прямоугольного треугольника не говорится о том, в каком положении он должен находиться, а следовательно, он может занимать любое положение, а во втором случае в простом указании на то, что свойство быть наклонной относится к взаимному расположению двух прямых. Таким образом, искажение представлений это в какой – то мере «закономерный» процесс в познании нового. Поэтому одного логически точного определения часто не достаточно, чтобы учащийся сразу, точно и правильно его развил. Соответствующим пояснением учитель должен устранить возможные ложные ассоциации, чтобы вести мысль учащегося по правильному пути. Во многих случаях опытные учителя делают много соответствующих указаний учащимся. Однако важно, чтобы эти указания стали системой в работе всех учителей.
Трудности усвоения математики имеют и другие причины. Часто учащиеся перестают понимать как будто совсем не трудный текст выкладки потому, что он не видит, какие реальные, известные ему факты в них отражены. Например, достаточно в процессе вычитания ввести какие – нибудь новые промежуточные обозначения, связь которых с исходными ему не ясны, как его начинают затруднять рассуждения и выкладки к ним. Все это относится к учащимся любого возраста.
Например, усвоение учащимися буквенной символики связано с определенными трудностями. Трудности усвоения буквенной символики вызываются тем, что во первых перейти к обозначению буквами значит поднять на более высокую ступень абстракцию; во вторых, начинающим неясна цель введения буквенной символики. Отсюда и часто встречаются недочеты и ошибки в усвоении учащимися буквенной символики. Вот несколько примеров наиболее часто встречающихся ошибок, связанных с буквенной символикой:
1) Сравнивая алгебраические выражения АВ и А, ученик обычно отвечает, что АВ > А (забывая, что В может быть и отрицательным);
2) Что больше 2А или А?
3) В/4 больше 1, меньше 1или равно 1?
4) (4В – 1) – будет ли целым числом?
5) (В + 4) больше или меньше 4?
6) 3А – А =…
7) Сравните по величине 9 и 9/А.
Заметно, также, очень плохое, неправильное обращение с нулем – А/0 = 0; А• 0=В• 0 и т. д.
Вывод: предупреждение и борьба с ошибками и недочетами в усвоении учащимися буквенной символики должны вестись путем упражнения в нахождении числовых значений алгебраических выражений при различных значениях входящих в них букв. К этому следует прибавить, что учителю необходимо работать над формированием у учащихся понятий буквенного символа и алгебраического выражения не только в период изучения данной темы, но и в дальнейшем, поскольку эти понятия могут быть действительно усвоены в течении лишь более или менее длительного времени. Следовательно, планируя изложение какой – то темы, и вообще всего предмета, мы должны учитывать не столько длины выводов и не только то, что учащийся к этому моменту знает или должен знать, а постоянную систему в развитии представлений учащихся. Мы должны учитывать, какие представления помешали учащемуся сделать правильный вывод и привлечь к данному ошибочному выводу.
Точно такой глубокий анализ позволит учителю предвидеть ошибки и так строить преподавание, чтобы по возможности их предупреждать. Одним из важных причин умственной деятельности предупреждающие такие ошибки в преподавании являются процессы сравнения и сопоставления, которые К. Д. Ушинский считал «основой всякого понимания и мышления».
Известно, что не все учащиеся в достаточной степени владеют этими важнейшими приёмами. Часто отдельные ученики сравнение подменяют рядоположением. Они с начало рассматривают признаки одного предмета, затем другого, а необходимого синтетического обобщения не делают.
Мысль этих учащихся характеризуется «застреванием» на анализе отдельных предметов, частных случаев и работает как бы «короткими замыканиями». Для таких учеников необходимы индивидуальные приёмы обучения. Сначала учитель помогает ученику проводить то или иное сравнение формулировкой вопроса. Потом ученику даётся тон в виде вопросов, которые помогают провести сравнение предметов или вычислений.
Пример: Изучая неравенства, многие учащиеся дают временные выводы, что между уравнениями и неравенствами существует большое сходство. Частично это так, но наряду с большим сходством уравнений и неравенств между ними существует столь же большое различие. К сожалению, учащиеся помнят лишь о сходстве и забывают о различии. Именно поэтому они делают ошибки при решении неравенств так, что при решении аналогичных уравнений они ошибок не делают.
Примеры:
1) х2 = 4 х = ±2 1) х2> 4 х >±2
2) 1/х = 1 х = 1 2) -1/х < 1 х<1 х≠0
На психологической основе решаются и вопросы о построении предмета в целом. Рассмотрим, например, школьный курс геометрии. В настоящее время построение школьного курса геометрии явно отстает от требований современной математики. Поэтому мы сами, перекраиваем и меняем расхождение тем, что кое – что опускаем, другое необходимое добавляем. Что нами руководит в этом отборе и приспособлении геометрии к школьному преподаванию? Ответ один: мы учитываем уровень знаний и «возрастные особенности учащихся», то есть, в последнем случае характер мышления учащихся на разных этапах его развития. И хотя сейчас этот учет мышления делается педагогами стихийно, не точно, то факт решения основного и общего вопроса о содержании и уровне изучения школьного курса геометрии ( и вообще всей математики) на психолого – педагогической основе не подлежит сомнению.
Анализ ошибок в процессе обучения, общий анализ мышления человека в его развитии могут подсказать в какой-то мере иной порядок изложения материала, другую группировку задач. Это может привести к другим методам работы учителя на уроке, к другому характеру домашних заданий и т. д. В результате мы сможем добиться сокращение времени на изучение определенных разделов программы, более успешного развития самостоятельного мышления учащихся.

Учитель математики гимназии № 132 г. Алматы